L'outil mathématique de base de base en cristallographie, est le réseau.
Un réseau est défini par un espace à trois
dimensions déterminées par trois vecteurs,
, 
, 
.
Un motif se répète par une translation d'un multiple
entier de chacun des vecteurs ou d'une combinaison linéaire des trois.
= n
+ m
+ p
La maille est le volume le plus simple qui représente l'ensemble
du cristal. C'est généralement le volume déterminé
par
,
,
.
On utilise des mailles multiples de la plus simple quand ceci permet de mettre en évidence des symétries qui autrement ne seraient pas visibles.
Tout ce qui précède suppose un niveau minimum en géométrie
dans l'espace, d'autant que le réseau est rarement un repère
orthonormé. Mais souvent de simples projections permettent de se retrouver
dans le plan. La révision des formules de base de trigonométrie
sera utile, ainsi que celle du produit scalaire des vecteurs.
EMPILEMENT COMPACT DE SPHÈRES IDENTIQUES.
CONVENTIONS:
Dans le modèle proposé les atomes (ou les ions) sont considérés comme des sphères identiques, strictement régulières et infiniment dures.
Si on veut placer, de façon aussi compacte que possible, des sphères identiques dans un espace à une dimension, il convient de les juxtaposer de telle manière qu'elles se touchent. C'est à dire que si d est la distance entre leur centre respectif et R leur rayon d = 2R.
Dans l'espace à deux dimensions, on place une 3ème
sphère tangente à ses deux voisines. Les trois centres définissent
un triangle équilatéral. Cette figure est reproduite à
l'infini dans son plan. Ces opérations déterminent un réseau
plan tel que le réseau de base est 
de modules égaux et d'angle (
.
) = 
/3.
Il faut ensuite placer une couche identique à la précédente dont chaque sphère est tangente à celles de la première couche. On remarque si une sphère est placée sur un creux entre trois autres du niveau inférieur, elle forme avec celles-ci un tétraèdre régulier. Ensuite son rayon interdit de placer une nouvelle sur les creux immédiatement voisins dans le même plan horizontal.
En effet , dans le plan horizontal contenant les centres, les creux G et G' sont au centre des triangles.
La distance GG' est 2/3 AD soit R ce qui est inférieur à 2R.
EXERCICES.
1: Soient 6 sphères disposées sur un plan et trois autres au dessus posées sur les trous selon la figure suivante. Montrer que les trois sphères du dessus se touchent et calculer l'altitude à laquelle se trouve leur centre.
vue de dessus vue de face
Le choix du creux est indifférent, car le premier pavage génère une symétrie d'ordre six. ( axe de rotation vertical passant par un centre de sphère.) Et deux creux se correspondent dans cette symétrie. Ils sont donc indiscernablesQuelle que soit la position du "creux" choisi pour placer les sphères
de la deuxième couche, on obtient un empilement qui est défini
par trois vecteurs
,
et 
disposés selon les trois arêtes issues d'un sommet de tétraèdre
de coté 2 R
module de
= a
module de
= a
module de
= a
angle
.
= angle
.
= angle
.
= 60° = 2
/6
La figure ainsi définie (maille) est un RHOMBOÈDRE et sa reproduction par translation génère l'empilement dans sa totalité.
Il possède six faces en forme de losange et peut être décomposé en deux tétraèdres réguliers et un octaèdre régulier.
On aura ainsi deux empilement type A, B, A, B.... et A, B, C, ....
On constate sur le rhomboèdre que la couche C est dans la direction
du vecteur
, alors que cet alignement ne se retrouve pas dans l'empilement A, B,
A.
Une présentation simple de l'empilement ABA consiste à utiliser une maille complexe, mais assez intuitive de forme hexagonale.
La translation
à partir d'un atome de la base (couche A) donne un atome de la
couche B, mais une seconde translation à partir de ce dernier atome
donne un creux inoccupé.
2: Démontrer que dans un cube la grande diagonale est divisée en trois parties égales par les plans contenant trois sommets voisins d'un même sommet.
Rep: Tri Nt = n(n+1)(2n+4)/12 Carré
Nc = n.(n+1).(2n+1)/6
Quelle figure détermine-t-on ainsi? En utilisant la démonstration
précédente et les propriétés des empilements
compacts on vérifiera aisément les égalités des
longueurs des segments caractéristiques et les valeurs des angles.
6: Parmi les propriétés des empilements compacts certaines sont dues aux rapports entre deux couches successives, elles seront donc communes aux remplissages ABAB et ABCA, par exemple l'existence de sites tétraédriques et octaédriques.
Site tétraédrique tétraèdre régulier
a: calculer en fonction de R le rayon d'une sphère r située au centre du tétraèdre et tangente aux quatre sphères constituant celui-ci.
rep: r = 0,224 R r/R =
-1
Site octaédrique : vue de dessus
vue de côté
b: même question avec le site octaédrique.
rep: r = 0,414 R r/R = 
-1
vue selon l'axe de rotation d'ordre 3 (perpendiculaire au centre de la figure) de l'imbrication des sites tétraédriques, vert au dessous et bleu au dessus, entourant un site octaédrique en trait jaune.
7: L'empilement ABCA... génère la maille cubique à faces centrées. Calculer le nombre d'atomes par maille, le nombre d'atomes situés à la distance la plus courte entre deux atomes (coordination), et le rapport entre le volume propre des atomes et le volume total de la maille (compacité).
8: L'empilement ABAB... génère la maille hexagonale compacte.
Calculer le nombre d'atomes par maille, le nombre d'atomes situés à la distance la plus courte entre deux atomes (coordination).
9: Soit r le rayon d'une sphère, a le coté de la base de
l'hexagone, calculer b la hauteur de la maille, et le rapport entre le volume
propre des atomes et le volume total de la maille (compacité).
10: Dans les systèmes compacts, les sites tétraédriques et octaédriques sont générés par le type d'empilement, on doit donc les retrouver dans le c.f.c. et le h.c. Donner les coordonnées de ces sites en fonction des paramètres de la maille, et les translations les plus simples reliants les atomes aux sites, en se référant aux axes de symétrie des empilements. Donner aussi le nombre de sites par maille, ainsi que le nombre de sites par atomes.
HEXAGONAL COMPACT: LE SITE OCTAÉDRIQUE
CUBIQUE COMPACT: LE SITE "O" CENTRAL et DEUX SITES "T"
Ensemble des sites tétraédriques du cube (c.f.c.). Seules les parties visibles des tétraèdres opaques sont représentées
11: Connaissant la masse volumique d'un métal et sa structure cristalline, établir la relation permettant de retrouver le nombre d'AVOGADRO.
12: A partir des éléments de symétrie du tétraèdre et du cube, établir les éléments de symétrie du système cubique à faces centrées.
Le tétraèdre ne possède pas de centre de symétrie.
Par chacun des sommets et perpendiculaire à la face opposée au sommet considéré passe un axe d'ordre 3 (trois 4 axes C3).
Par chacun des cotés opposés passent un axe d'ordre 2 (3 axes C2) et un axe impropre d'ordre 4 (3 axes S4).
Par chaque coté et ^ au coté opposé passe un plan (6 s). Les intersections de ces plans sont les axes S4 et C3.
Le cube possède toutes les symétries du tétraèdre. De plus il a un centre de symétrie I, et 3 plans (médians) de symétries passant par les milieux des arêtes. Cela confère aux axes C2 de devenir C4 et aux axes C3 d'être en plus S6. De nouveau axes C2 apparaissent, six axes à l'intersection d'un plan s et d'un plan médian.
13 On a vu que l'empilement compact génère le système
hexagonal compact et le cubique à faces centrées. Soient les
vecteurs
,
et
de base du rhomboèdre déterminant les deux premières
couches.
Donner en fonction de
,
et
les vecteurs 
de base des deux mailles.
14 Comparer un empilement compact de sphères (ABC) à celui obtenu en disposant, sur un pavage carré, les couches supérieures sur les creux ainsi obtenus.
1 Soit la pile de boulets à base carrée de l'exercice N° 2, elle comporte un pavage plan orthogonal sur lequel on dispose un autre pavage plan parallèle à la verticale des creux entre les sphères du plan inférieur. Les espaces entre sphères au niveau (2) supérieur sont donc à la verticales des sphères inférieures. Le troisième plan de remplissage est le translaté du plan inférieur (1), les sphères du niveau 3 sont à la verticales de celles du niveau 1.
Exercice: Quelle est la hauteur de la nième couche? Trouver une maille simple définissant le même empilement. Calculer la compacité du système. Comparer à l'empilement compact.
2 Si, sur le premier plan de la pile de boulets à base carrée, on dispose un autre pavage plan parallèle au précèdent en plaçant les sphères à la verticale des sphères du plan inférieur
Exercice: Même question qu'à l'exercice précédent.
3 Cette fois le premier plan de la pile de boulets à base carrée
n'est pas compact, les sphères sont écartées les unes
des autres de façon que le côté a du carré égale
environ 2,3 R ou plus précisément : a = 4R /
puis on dispose un autre pavage plan parallèle au précèdent
en plaçant les sphères à la verticale des trous laissés
entre les 4 sphères jointives du plan inférieur
Exercice: Même question qu'à l'exercice précédent.
4 Connaissant les trois systèmes cubiques établir une relation
générale entre la masse volumique d'un corps pur, et la compacité
du système cristallin correspondant. Calculer la valeur du rapport
/c pour le fer (
= 7,85 g.cm-3 structure cubique centrée).
5 Soient trois sphères, de rayon R, jointives. Déterminer le rayon r de la sphère pouvant s'insérer sans cliqueter entre les trois grandes et dans le même plan que ces dernières.
Combien de sphères de diamètre R entourent une sphère de diamètre r?
Combien de sphères de diamètre r entourent une sphère de diamètre R?
Combien de sphères d'un diamètre donné entourent une sphère de même diamètre?
6 Mêmes questions avec quatre sphères jointives R dans le plan. (carré)
7 Mêmes questions avec six sphères jointives R dans le plan. (hexagone régulier)
8 Mêmes questions avec quatre sphères jointives R disposées selon les sommets d'un tétraèdre régulier.
9 Même questions avec six sphères jointives R disposées selon les sommets d'un octaèdre régulier.
10 Même questions avec huit sphères jointives R disposées selon les sommets d'un cube (hexaèdre).
11 Même questions avec douze sphères jointives R disposées au milieu de chacune des douze arêtes du cube?
12 On essaierai de traiter le cas de l'icosaèdre, polyèdre régulier à 20 faces triangulaires et 12 sommets
.
13 Le fer cristallise dans le système c.c. (variété
) et dans le système c.f.c. (variété 
). A 1184°C, la forme
se transforme en forme
. Si on suppose constante la distance entre
deux atomes de fer, quel est le rapport entre les masses volumiques a et g.